Question

若a，b，c均为实数，且a=x²-2x+

π

2

，b=y²-2y+

π

2

，c=z²-2z+

π

2

，试用反证法证明：a，b，c中至少有一个大于0．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,反证法

分析：用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证．

解答： 证明：假设a，b，c都不大于0即a≤0，b≤0，c≤0
根据同向不等式的可加性可得a+b+c≤0①
又a+b+c=x²-2x+

π

2

+y²-2y+

π

2

+z²-2z+

π

2

=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+

3

2

π-3＞0与①式矛盾
所以假设不成立，即原命题的结论a，b，c中至少有一个大于0．

点评：本题的考点是反证法与放缩法，主要考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．