Question

（8分）已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，当时，总有．

（1）、判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；   

（2）、解不等式：；

（3）、若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）在上是增函数，证明如下：

任取，且，则，于是有，

而，故，故在上是增函数

（2）由在上是增函数知：   

，

故不等式的解集为．        

（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，

只需成立，即成立．

①  当时，的取值范围为；

②当时，的取值范围为；

③当时，的取值范围为R．           

【解析】（1）利用函数单调性的定义进行证明；（2）由函数的定义域和单调性得到关于的不等式组，解不等式组得到答案；（3）先求出最大值为，转化成关于的不等式，讨论，，得的取值范围.