题目内容
要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试的考试．已知听力和笔试各只允许有一次不考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）求他恰好补考一次就获得证书的概率；
（3）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求参加考试次数ξ的分布列和期望值．
分析：设“听力第一次考试合格”为事件A1，“听力补考合格”为事件A2；“笔试第一次考试合格”为事件B1“笔试补考合格”为事件B2
（1）不需要补考就获得证书的事件为．A1•B1，且A1与B1相互独立，根据相互独立事件的概率公式可求
（2）他恰好补考一次就获得证书，即为事件
A2B1+A1
B2，根据相互独立事件与互斥事件的概率公式可求
（3）由已知得，ξ=2，3，4
而ξ=2即为A1•B1 +
•
ξ=3 即为 A1•
•
+
•A2•B2
ξ=4，即为
•A2•
•B2+
•
•
•
（1）不需要补考就获得证书的事件为．A1•B1，且A1与B1相互独立，根据相互独立事件的概率公式可求
（2）他恰好补考一次就获得证书，即为事件
. |
| A1 |
. |
| B1 |
（3）由已知得，ξ=2，3，4
而ξ=2即为A1•B1 +
. |
| A1 |
. |
| A2 |
| B1 |
| B2 |
| A1 |
ξ=4，即为
| A1 |
| B2 |
| A1 |
. |
| A2 |
| B1 |
| B2 |
解答：解：设“听力第一次考试合格”为事件A1，“听力补考合格”为事件A2；“笔试第一次考试合格”为事件B1“笔试补考合格”为事件B2．（1分）
（1）不需要补考就获得证书的事件为A1•B1，注意到A1与B1相互独立，
则P（A1•B1）=P（A1）×P（B1）=
×
=
．A1•B1
答：该考生不需要补考就获得证书的概率为
．（3分）
（2）恰好补考一次的事件是
A2B1+A1
B2（4分）
则P（
A2B1+A1
B2）=P（
A2B1）+P（A1
B2）
=
•
•
+
•
•
=
=
（7分）
（3）由已知得，ξ=2，3，4，（8分）
注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
P（ξ=2）=P（A1•B1）+P（
•
）=
×
+
×
=
+
=
（10分）
P（ξ=3）=P（A1•
•
）+P（
•A2•B2）=
×
×
+
×
×
+
×
×
=
（12分）
P（ξ=4）=P（
•A2•
•B2）+P（
•A2•
•
）=
×
×
×
+
×
×
×
=
+
=
（13分）
参加考试次数ξ的期望值Eξ=2×
+3×
+4×
=
（14分）
（1）不需要补考就获得证书的事件为A1•B1，注意到A1与B1相互独立，
则P（A1•B1）=P（A1）×P（B1）=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
答：该考生不需要补考就获得证书的概率为
| 1 |
| 3 |
（2）恰好补考一次的事件是
. |
| A1 |
. |
| B1 |
则P（
. |
| A1 |
. |
| B1 |
. |
| A1 |
. |
| B1 |
=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 54 |
| 5 |
| 18 |
（3）由已知得，ξ=2，3，4，（8分）
注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
P（ξ=2）=P（A1•B1）+P（
| A1 |
| A2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
P（ξ=3）=P（A1•
| B1 |
| B2 |
| A1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 9 |
P（ξ=4）=P（
| A1 |
| B2 |
| A1 |
| B1 |
| B2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 18 |
| 1 |
| 18 |
| 1 |
| 9 |
参加考试次数ξ的期望值Eξ=2×
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 8 |
| 3 |
点评：本题主要考查了相互独立事件的 概率的求解公式的运用：若事件A，B相互独立，则A与
，
与
与B相互独立；P（AB）=P（A）P（B）；还考查了对一些复杂事件的分解：即对一个事件分解成几个互斥事件的和，本题是把相互独立与互斥结合的综合考查．
. |
| B |
. |
| A |
. |
| B |
. |
| A |
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