Question

要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试的考试．已知听力和笔试各只允许有一次不考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为，笔试考试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）求他恰好补考一次就获得证书的概率；
（3）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求参加考试次数ξ的分布列和期望值．

Answer 1

解：设“听力第一次考试合格”为事件A₁，“听力补考合格”为事件A₂；“笔试第一次考试合格”为事件B₁“笔试补考合格”为事件B₂．
（1）不需要补考就获得证书的事件为A₁B₁，注意到A₁与B₁相互独立，
则P（A_1^?B₁）=P（A₁）×P（B₁）=×=．
答：该考生不需要补考就获得证书的概率为．
（2）恰好补考一次的事件是
则P（）=P（）+P（）
===
（3）由已知得，ξ=2，3，4，
注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
P（ξ=2）=P（A_1^?B₁）+P（）=×+×=+=
P（ξ=3）=P（A_1^??）+P（?A₂?B₂）=
P（ξ=4）=P（?A_2^??B₂）+P（?A_2^??）=×=+=
参加考试次数ξ的期望值