Question

【题目】已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：，使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；实数m的取值范围是

【解析】

（1）设椭圆的顶点为P，则，又由，由结合椭圆的定义可得，结合可求椭圆的方程；

（2）存在直线l，使得成立.设直线l的方程为，由得.由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围.

（1）设椭圆的顶点为P，

由两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，

可得，

又右焦点到右顶点的距离为1.

，

，，，

椭圆的方程为：；

（2）存在直线l，使得成立.理由如下：

设直线l的方程为，

由得.

，化简得.

设，，则

，.

若成立，

即，等价于.

所以.

，

，

，

化简得.即，

代入中，，

解得.

又由，得，

从而，

解得或.

所以实数m的取值范围是.