题目内容
【题目】已知
， 若函数
在
上的最大值为
，最小值为
， 令
.
（1）求
的表达式;
（2）若关于
的方程
有解，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）实数
的取值范围为
.
【解析】
（1）根据
解析式，讨论
的取值范围，求出的最值，得出
（a）的表达式；
（2）先用定义判断函数（a）在定义域上的单调性，再求出（a）的值域，把方程（a）
有解转化为
（a）有解，求出的取值范围即可．
(1)
1分
∵
，∴
①当
，即
时，则
时，函数
取得最大值;
时，函数取得最小值.
∴
，
∴
3分
②当
，即
时，则
时，函数取得最大值;时，函数取得最小值.
∴
，
∴
. 5分
综上，得
（2）任取
，且
，
∵，且
，
，
；
∴
，即
∴
∴函数
在
上单调递减 ，
任取
，且
∵，且
，
，
；
∴
，即
∴
∴函数在
上单调递增 ，
当
时，取得最小值，其值为
又
，
∴函数的值域为
∵关于的方程
有解等价于
有解
∴实数的取值范围为函数的值域，
∴实数的取值范围为.
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列联表的部分数据如下表：
自律性一般 | 自律性强 | 合计 | |
成绩优秀 | 40 | ||
成绩一般 | 20 | ||
合计 | 50 | 100 |
（1）补全列联表中的数据；
（2）判断是否有
的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
参考公式及数据：
.
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
