Question

若sin（

π

6

-α）=-

1

3

，α∈（-

π

3

，

2

3

π），则cos2α=

7-4 6

18

．

Answer 1

分析：由α∈（-

π

3

，

2

3

π），sin（

π

6

-α）=-

1

3

，可求得cosα，再由二倍角的余弦即可求得cos2α．

解答：解：∵sin（

π

6

-α）=-

1

3

，
∴sin（α-

π

6

）=

1

3

，
∵α∈（-

π

3

，

2

3

π），
∴α-

π

6

∈（-

π

2

，

π

2

），
∴cos（α-

π

6

）=

2 2

3

，
∴cosα=cos[（α-

π

6

）+

π

6

]
=cos（α-

π

6

）cos

π

6

-sin（α-

π

6

）sin

π

6

=

2 2

3

×

3

2

-

1

3

×

1

2

=

2 6 -1

6

．
∴cos2α=2cos²α-1
=2×

24-4 6 +1

36

-1
=

7-4 6

18

．
故答案为：

7-4 6

18

．

点评：本题考查二倍角的余弦，考查“拼凑角”的技巧与运算能力，属于中档题．