Question

（2012•保定一模）选修4-5：不等式选讲
设f（x）=1n（|x-1|+m|x-2|一3）（m∈R）．
（1）当m=0时，求函数f（x）的定义域；
（2）当0≤x≤1时，是否存在m使得f（x）≤0恒成立，若存在求出实数m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当m=0时，f（x）=1n（|x-1|-3），故有|x-1|-3＞0，由此求得函数f（x）的定义域．
（2）当0≤x≤1时，f（x）≤0恒成立等价于 0＜2m-（m-1）x-2≤1恒成立，即 m＞

2+x

2-x

，且m≤

x+3

2-x

．求出

2+x

2-x

的最大值以及

x+3

2-x

的最小值，可得m＞3且m≤

3

2

，故这样的实数m不存在．

解答：解：（1）当m=0时，f（x）=1n（|x-1|-3），故有|x-1|-3＞0，
∴x-1＞3 或x-1＜-3，故函数f（x）的定义域为{x|x＜-2，或x＞4}．
（2）当0≤x≤1时，f（x）=1n（|x-1|+m|x-2|-3）=ln[2m-（m-1）x-2]，
f（x）≤0恒成立等价于 0＜2m-（m-1）x-2≤1恒成立．
故有 m＞

2+x

2-x

，且m≤

x+3

2-x

．
由 m＞

2+x

2-x

=-1+

4

2-x

，而由0≤x≤1可得-1+

4

2-x

的最大值为3，可得m＞3．
由m≤

x+3

2-x

=-1+

5

2-x

，而由0≤x≤1可得-1+

5

2-x

 的最小值为

3

2

，可得m≤

3

2

．
即实数m同时满足m＞3且m≤

3

2

，故这样的实数m不存在．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，求出

2+x

2-x

的最大值以及

x+3

2-x

的最小值，是解题的关键，属于中档题．