Question

（2013•宜宾二模）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC=4，D、E、F分别为PA、PC、BC的中点，BE=3，平面PBC⊥平面ABC，BE⊥DF．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面PAF；
（Ⅱ）求直线AB与平面PAF所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明AF⊥平面PBC，再利用线面垂直的判定定理，证明BE⊥平面PAF；
（Ⅱ）设BE∩PF=H，连AH，由（Ⅰ）可知AH为AB在平面PAF上的射影，证明∠HAB为直线AB与平面PAF所成的角，进而可求直线AB与平面PAF所成的角．

解答：（Ⅰ）证明：连结AF，
∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，…（1分）
又平面PBC⊥平面ABC，且平面PBC∩平面ABC=BC，
∴AF⊥平面PBC．…（2分）
又∵BE?平面PBC，
∴AF⊥BE．…（5分）
又∵BE⊥DF，DF∩AF=F，
∴BE⊥平面PAF．…（5分）
（Ⅱ）解：设BE∩PF=H，连AH，由（Ⅰ）可知AH为AB在平面PAF上的射影，
∴∠HAB为直线AB与平面PAF所成的角．…（  7分）
∵E、F分别为PC、BC的中点，
∴H为△PBC的重心，又BE=3，
∴BH=

2

3

×3=2…（  9 分）
在Rt△ABH中，sin∠BAH=

BH

AB

=

2

4

=

1

2

…（  10 分）
∴AB与平面PAF所成的角为30°．…（12分）

点评：本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．