Question

等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=．
（1）求a_n与b_n；
（2）证明：≤++…+＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用b₂+S₂=12和数列{b_n}的公比q=，即可列出方程组求的q、a₂的值，进而获得问题的解答；
（2）首先利用等差数列的前n项和公式计算出数列的前n项和，然后利用叠加法即可获得问题的解答．
解答：（1）解：由已知等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=．
∴q+3+a₂=12，q=
∴q=3或q=-4（舍去），∴a₂=6
∴a_n=3+（n-1）3=3n，b_n=3^n-1；
（2）证明：∵S_n=，∴
∴++…+=（1-+-…+-）=
∵n≥1，∴0＜≤
∴≤＜
∴≤++…+＜．
点评：本题考查数列通项的求法与不等式的综合问题，解题的关键是确定数列的通项，利用叠加法求数列的和．