Question

用数学归纳法证明：

1·n+2（n－1）+3（n－2）+…+（n－1）·2+n·1=n（n+1）（n+2）.

Answer 1

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=（1+1）（1+2）=1，等式成立.

（2）假设n=k时，1·k+2（k－1）+3（k－2）+…+（k－1）·2+k·1=k（k+1）（k+2）成立.

当n=k+1时，

1·（k+1）+2k+3（k－1）+…+k·2+（k+1）·1

=（1·k+1）+［2（k－1）+2］+［3（k－2）+3］+…+（k·1+k）+（k+1）

=［1·k+2（k－1）+3（k－2）+…+k·1］+［1+2+3+…+（k+1）］

=k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）

=（k+1）［（k+1）+1］［（k+1）+2］.

∴对n=k+1时，等式成立.

由（1）（2）可知对一切自然数n∈N^*，等式成立.