Question

在数列{a_n}、{b_n}中，已知a₁=6，b₁=4，且b_n、a_n、b_n+1成等比数列，a_n、b_n+1、a_n+1成等差数列，（n∈N⁺）
（Ⅰ）求a₂、a₃、a₄及b₂、b₃、b₄，由此猜想{a_n}、{b_n}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+

1

a3+b3

+…+

1

an+bn

＜

7

20

．

Answer 1

分析：Ⅰ由已知可知2b_n+1=a_n+a_n+1，a_n²=b_n•b_n+1，把a₁=6，b₁=4，代入计算得：a₂=12，a₃=20，a₄=30，b₂=9，b₃=16，b₄=25，
由此猜想a_n=（n+1）（n+2），b_n=（n+1）²（n∈N⁺），再用数学归纳法证明猜想．
Ⅱ因为

1

a1+b1

=

1

6+4

=

1

10

＜

7

20

．当n≥2时，由a_n+b_n=（n+1）（n+2）+（n+1）²=（n+1）（2n+3）＜2n（n+1）

1

an+bn

，然后用放缩法进行证明．

解答：解：Ⅰ．由已知b_n、a_n、b_n+1成等比数列，
a_n、b_n+1、a_n+1成等差数列，（n∈N⁺）
∴2b_n+1=a_n+a_n+1，a_n²=b_n•b_n+1，
∵a₁=6，b₁=4，代入计算得：
a₂=12，a₃=20，a₄=30，b₂=9，b₃=16，b₄=25，
由此猜想a_n=（n+1）（n+2），b_n=（n+1）²（n∈N⁺），
证明：（1）当n=1，由上面计算知猜想的结论成立；
（2）假设当n=k（k＞1，k∈N⁺）时结论成立，
即a_k=（k+1）（k+2），b_k=（k+1）²，
则当n=k+1时，由于a_k²=b_k•b_k+1，
∴bk+1=

a 2 k

bk

=

(k+1)2(k+2)2

(k+1)2

=[(k+1)+1]2
∴当n=k+1时，结论b_n=（n+1）²成立，
又a_k+1=2b_k+1-a_k=2（k+2）²-（k+1）（k+2）
=（k+2）（k+3）=[（k+1）+1][（k+1）+2]
∴当n=k+1时，a_n=（n+1）（n+2）也成立
由（1）（2）所证可知对任意的自然数n∈N⁺，
结论a_n=（n+1）（n+2），b_n=（n+1）²都成立；
Ⅱ．因为

1

a1+b1

=

1

6+4

=

1

10

＜

7

20

．
当n≥2时，由a_n+b_n=（n+1）（n+2）+（n+1）²
=（n+1）（2n+3）＜2n（n+1）

1

an+bn

＜

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，

1

a1+b1

+

1

a2+b2

++

1

an+bn

＜

1

10

+

1

2

(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

)
=

1

10

+

1

2

(

1

2

-

1

n+1

)＜

1

10

+

1

4

=

7

20

证毕．

点评：本题综合考查数列的性质和不等式的证明，在证明过程中要注意数学归纳法和放缩法的合理运用．