Question

（2009•长宁区二模）定义：项数为偶数的数列，若奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则称该数列为“对偶数列”．
（1）若项数为20项的“对偶数列”{a_n}，前4项为1，1，3，

1

2

，求该数列的通项公式及20项的和；
（2）设项数为2m（m∈N^*）的“对偶数列”{a_n}前4项为1，1，3，

1

2

，试求该数列前n（1≤n≤2m，n∈N^*）项的和S_n；
（3）求证：等差数列{a_n}（a_n≠0）为“对偶数列”当且仅当数列{a_n}为非零常数数列．

Answer 1

分析：（1）由条件得，a₁，a₃，…，a₁₉成等差数列，公差为2，a₁=1；a₂，a₄，…，a₂₀成等比数列，公比为

1

2

，a₂=1，由此能求出该数列的通项公式及20项的和；
（2）1≤n≤2m，n∈N^*，当n为偶数时，Sn=

n 2 (1+n-1)

2

+

1-( 1 2 ) n 2

1- 1 2

=

n2

4

+2-2(

1

2

)

n

2

．当n为奇数时，Sn=

n+1 2 (1+n)

2

+

1-( 1 2 ) n-1 2

1- 1 2

=

1

4

(n+1)2+2-2(

1

2

)

n-1

2

．
（3）设{a_n}为等差数列，公差为d．若{a_n}为“对偶数列”，则a₂，a₄，a₆，…成等比数列，由此{a_n}为非零常数列．若{a_n}为非零常数列，则a₁=a₂=a₃=a₄=…，满足“对偶数列”的条件，因此{a_n}为“对偶数列”．

解答：解：（1）由条件得，a₁，a₃，…，a₁₉成等差数列，公差为2，a₁=1；a₂，a₄，…，a₂₀成等比数列，公比为

1

2

，a₂=1．∴an=

1+( n+1 2 -1)×2，n为正奇数 1×( 1 2 ) n 2 -1，n为正偶数

即an=

n，n为正奇数 2( 1 2 ) n 2 ，n为正偶数

(n∈N*且n≤20)

S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20) = 10(1+19) 2 + 1-( 1 2 )10 1- 1 2 =102-( 1 2 )9.

（2）1≤n≤2m，n∈N^*，
当n为偶数时，Sn=

n 2 (1+n-1)

2

+

1-( 1 2 ) n 2

1- 1 2

=

n2

4

+2-2(

1

2

)

n

2

．
当n为奇数时，Sn=

n+1 2 (1+n)

2

+

1-( 1 2 ) n-1 2

1- 1 2

=

1

4

(n+1)2+2-2(

1

2

)

n-1

2

．
（3）设{a_n}为等差数列，公差为d．
若{a_n}为“对偶数列”，则a₂，a₄，a₆，…成等比数列，∴a₄²=a₂a₆，（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+5d），得出d=0，
所以{a_n}为非零常数列．
若{a_n}为非零常数列，则a₁=a₂=a₃=a₄=…，满足“对偶数列”的条件，因此{a_n}为“对偶数列”．

点评：本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．