Question

过点A（-4，0）向椭圆引两条切线，切点分别为B，C，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ab最大时椭圆的方程；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的椭圆，若其左焦点为F，过F的直线l与y轴交于点M，与椭圆的一个交点为Q，且，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意，其中一条切线的方程为：，联立方程组，消去y得3b²x²+a²（（x+4）²=3a²b²，由△=0，可得a²+3b²=16，，当a²=3b²时，ab取最大值，求得，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由，设直线方程为：，设Q（x，y），则，当时，有定比分点公式可得：．由此能求出直线方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意，其中一条切线的方程为：（2分）
联立方程组消去y得3b²x²+a²（（x+4）²=3a²b²
即（a²+3b²）x²+8a²x+16a²-3a²b²=0有△=0，可得a²+3b²=16
因为a²+3b²=16，所以，即（4分）
所以当a²=3b²时，ab取最大值；求得
故椭圆的方程为（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设直线方程为：
设Q（x，y），则当时，有定比分点公式可得：（8分）
代入椭圆解得直线方程为（10分）
同理当时，无解
故直线方程为（12分）
点评：本题考查求ab最大时椭圆的方程和求直线方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意培养计算能力．