Question

设函数f（x）=log_b

x2-2x+2

1+2ax

（b＞0，b≠1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）b＞1时，求使f（x）＞0的所有x值．

Answer 1

分析：（1）要使f（x）有意义，须满足

x2-2x+2

1+2ax

＞0，易知x²-2x+2＞0，故只需解1+2ax＞0，按照a＞0，a=0，a＜0三种情况讨论可解不等式；
（2）根据对数函数的单调性可把不等式化为一元二次不等式，按对应二次方程的判别式△的符号分情况进行讨论，可解不等式，注意要与函数定义域取交集；

解答：解：（1）∵f（x）=log_b

x2-2x+2

1+2ax

，x²-2x+2=（x-1）²+1＞0，
∴1+2ax＞0，
①当a＞0时，2ax＞-1，x＞-

1

2a

，定义域为（-

1

2a

，+∞）；
②当a=0时，1＞0，x∈R，定义域为R；
③当a＜0时，2ax＞-1，x＜-

1

2a

，定义域为（-∞，-

1

2a

）；
（2）f（x）＞0即log_b

x2-2x+2

1+2ax

＞log_b1，
∵b＞1，∴

x2-2x+2

1+2ax

＞1，
∴x²-2x+2＞1+2ax，即x²-（2+2a）x+1＞0，
令△=[-（2+2a）]²-4=4（a²+2a），
①当a＜-2时，△＞0，x²-（2+2a）x+1=0的两根为x1=1+a-

a2+2a

，x2=1+a+

a2+2a

，
这时x₁＜x₂=1+a+

a2+2a

=

1

1+a- a2+2a

＜0＜-

1

2a

，
∴x＜1+a-

a2+2a

或1+a+

a2+2a

＜x＜-

1

2a

；
②当a=-2时，x＜

1

4

且x≠-1；
③当-2＜a＜0时，△＜0，x＜-

1

2a

；
④当a=0时，x∈R且x≠1；
⑤当a＞0时，△＞0，x₂＞x₁＞0＞-

1

2a

，
∴-

1

2a

＜x＜1+a-

a2+2a

或x＞1+a+

a2+2a

．

点评：本题考查对数函数定义域、对数不等式的求解，考查含参数的一元一次、一元二次不等式的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，运算量较大，综合性较强．