Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1和x轴正方向的交点为A，和y轴的正方向的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，使四边形OAPB面积最大（O为原点），那么四边形OAPB面积最大值为（　　）

• A、

  2

  ab
• B、

  2

  2

  ab
• C、

  1

  2

  ab
• D、2ab

Answer 1

分析：利用三角函数来解答这道题，椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1 上 里面的自变量x，y可以表示为 x=acosa y=bsina，本题中要求第一象限，这样就应该有0＜a＜π，设P为（acosa，bsina）这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，计算两个三角形的面积并借助于三角公式即可求出OAPB面积的最大值．

解答：解：由于点P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1和上的在第一象限内的点，
 设P为（acosa，bsina）即x=acosa y=bsina （0＜a＜π），
这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，
对于三角形OAP有面积S₁=

1

2

absinα，对于三角形OBP有面积S₂=

1

2

abcosα
∴四边形的面积S=S₁+S₂=

1

2

ab（sinα+cosα）
=

2

2

absin（a+

π

4

）
其最大值就应该为

2

2

ab，
并且当且仅当a=

π

4

时成立．所以，面积最大值

2

2

ab．
故选B．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，解答的关键在于利用椭圆的参数方程设出椭圆上一点的坐标，利用三角函数的有界性求最值．