Question

已知函数f（x）满足2f(x)+f(

1

x

)=6x+

3

x

，对x≠0恒成立，在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=1，b₁=1，对任意n∈N*，an+1=

f(an)

2f(an)+3

，bn+1-bn=

1

an

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（3）若对任意实数λ∈[0，1]，总存在自然数k，当n≥k时，bn≥

1-λ

3

f(

1

an

)恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）由2f(x)+f(

1

x

)=6(x)+

3

x

知，让

1

x

与x互换可得2f(

1

x

)+f(x)=

6

x

+3x，联立解求解．
（2）由an+1=

f(an)

2f(an)+3

=

an

2an+1

，可变形为

1

an+1

=

1

an

+2，∴|

1

an

|是以1为首项、2为公差的等差数列求解．又b_n+1-b_n=2n-1再用累加法求解．
（3）对任意实数λ∈[0，1]时，bn≥

1-λ

3

f(

1

a   n

)恒成立，转化为n2-2n+2≥

1-λ

3

×3(2n-1)恒成立、变形为（2n-1）λ+n²-2n+3≥0，λ∈[0，1]恒成立．再求g（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3的最小值即可．

解答：解：（1）由2f(x)+f(

1

x

)=6(x)+

3

x

知，让

1

x

与x互换可得2f(

1

x

)+f(x)=

6

x

+3x，联立解得：f（x）=3x．
（2）由an+1=

f(an)

2f(an)+3

=

an

2an+1

，可变形为

1

an+1

=

1

an

+2，
∴|

1

an

|是以1为首项、2为公差的等差数列．
又b_n+1-b_n=2n-1，
∴b_n-b_n-1=2（n-1）-1，b₃-b₂=2×2-1，b₂-b₁=2-1，
相加有b_n+1-b₁=n²
∴b_n=（n-1）²+1=n²-2n+2．
（3）对任意实数λ∈[0，1]时，bn≥

1-λ

3

f(

1

a   n

)
恒成立，则n2-2n+2≥

1-λ

3

×3(2n-1)恒成立、变形为（2n-1）λ+n²-2n+3≥0，λ∈[0，1]恒成立．
设g（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，

g(0)≥0 g(1)≥0 n2-4n+3≥0 n2-2n+2≥0

∴n＞3或n≤1．n∈N⁺．

点评：本题主要考查用构造法和累加法求数列通项公式以及变形研究不等式恒成立问题．