Question

四边形ABCD中，

.

AB

=1，

.

BC

=5，

.

CD

=5，

.

DA

=7，且∠DAB=∠BCD=90°，则对角线

.

AC

长为

 

．

Answer 1

分析：设所求向量的模为x，角B=θ，由∠DAB=∠BCD=90°，根据四边形的内角和表示出角D=π-θ，在三角形ABC中，利用余弦定理表示出cosθ，同理在三角形ACD中，利用余弦定理表示出cos（π-θ），根据诱导公式得到cosθ=-cos（π-θ），列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，进而所求向量的模．

解答：解：设|

.

AC|

=x，∠B=θ，
由∠DAB=∠BCD=90°，则∠D=180°-θ，
△ABC中，|

.

AB|

=1，|

.

BC

|=5，|

.

AC|

=x，
则cosθ=

12+52-x2

2×1×5

=

26-x2

10

；
△ACD中，|

.

CD|

=5，|

.

DA|

=7，|

.

AC|

=x，
则cos(180°-θ)=

72+52-x2

2×7×5

=

74-x2

70

；
∵cos（180°-θ）=-cosθ，
∴

74-x2

70

=-

26-x2

10

?x=

32

=4

2

．
故答案为：4

2

点评：此题考查了余弦定理，以及四边形的内角和，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．