Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列{

1

bn

}的前n项和．
（Ⅲ）设cn=

bnan

n+1

，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等比数列的性质及a32=9a2a6可得a32=9a42，可求公比q=

1

3

，由2a₁+3a₂=1可求a₁，从而可求通项
（Ⅱ）由b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-(1+2+…+n)=-

n(n+1)

2

，可得

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），利用裂项可求

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

（Ⅲ）由cn=

bnan

n+1

=-

n

2•3n

，结合数列的特点可以利用错位相减求数列的和

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q²=

1

9

．
由条件可知q＞0，故q=

1

3

．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1
所以a1=

1

3

．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

3n

．
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=-(1+2+…+n)=-

n(n+1)

2

，
故

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

）

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=-2((1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

))=-

2n

n+1

，
所以数列{

1

bn

}的前n项和为-

2n

n+1

．
（Ⅲ）由cn=

bnan

n+1

=-

n

2•3n

∴T_n=-

1

2

（

1

31

+

2

32

+…+

n

3n

）

1

3

Tn=-

1

2

（    

1

32

+

2

33

+…+

n-1

3n

+

n

3n+1

）
两式相减可得，

2

3

Tn=-

1

2

（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

）=-

1

2

[

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

]
=-

1

2

•(

1- 1 3n

2

-

n

3n+1

)
∴T_n=

2n+3

8•3n

-

3

8

点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，数列的裂项求和及错位相减求和方法的应用是求解本题的关键