Question

12．函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，2015]上具有性质 P．现给出如下命题：
①f（x）在[1，2015]上不可能为一次函数；
②函数f（x²）在[1，$\sqrt{2015}$]上具有性质P；
③对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，2015]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]；
④若f（x）在x=1008处取得最大值 2016，则f（x）=2016，x∈[1，2015]．
其中真命题的序号是③④．

Answer 1

分析 不妨设f（x）=x，从而证明①不正确；不妨设f（x）=-x，从而证明②不正确；证明③，④正确即可．

解答 解：不妨设f（x）=x，则对任意x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，故①不正确；
不妨设f（x）=-x，则函数f（x²）=-x²在[1，$\sqrt{2015}$]上不具有性质P，故②不正确；
∵对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，2015]，
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，f（$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₃）+f（x₄）]，
∴f（$\frac{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$（f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）+f（$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$））≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]；
即f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]；故③正确；
在[1，2015]上，f（1008）=f（$\frac{x+2016-x}{2}$）≤$\frac{1}{2}$（f（x）+f（2016-x）），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+f（2016-x）≥4032}\\{f（x）≤f（1008）=2016}\\{f（2016-x）≤f（1008）=2016}\end{array}\right.$，
故f（x）=2016，
故f（x）=2016，x∈[1，2015]，故④正确；
故答案为：③④．

点评 本题考查了学生对新定义的接受与应用的能力．