已知a＞0,函数f(x)=x3-a,x∈［0,+∞),设x1＞0,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线l.(1)求l的方程;(2)设l与x轴交点为(x2,0),证明:①x2≥ac,②若x1＞a,则a＜x2＜x1. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

已知a＞0,函数f（x）=x³-a,x∈［0,+∞）,设x₁＞0,记曲线y=f（x）在点M（x₁,f（x₁））处的切线l.

（1）求l的方程;

（2）设l与x轴交点为（x₂,0）,证明:

①x₂≥ac；

②若x₁＞a,则a＜x₂＜x₁.

（1）解：由f′（x）=3x²得切线l方程为:?

y-（x₁³-a）=3x₁²（x-x₁）.

（2）证明:依题意,切线方程中令y=0,得?

x₂=x₁-.

①x₂-a=（2x₁³+a-3x₁²a）=（x₁-a）²·（2x₁+a）≥0.

∴x₂＞a,当且仅当x₁=a时取等号.

②若x₁＞a,则x₁³-a＞0,x₂-x₁=＜0.

且由 ①x₂＞a,∴a＜x₂＜x₁.

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