Question

【题目】已知命题：函数在上单调递增；命题：函数在上单调递减.

（Ⅰ）若是真命题，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据题意转化为在上恒成立，由二次函数的图像与性质即可求解.

（Ⅱ）根据复合命题的真假性可得与一真一假，当真且假时，则，当假且真时，则，解不等式组即可求解.

（Ⅰ）当命题为真命题时，

函数在上单调递减，

所以在上恒成立.

所以在上单调递减，故，

解得，

所以是真命题，实数的取值范围为.

（Ⅱ）命题为真命题时，函数在上单调递增，∴.

因为或为真命题，且为假命题，所以与的真值相反.

（ⅰ）当真且假时，有，此不等式无解.

（ⅱ）当假且真时，有

解得或.

综上可得，实数的取值范围为.