Question

13．已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），n∈N^*．
（1）若b_n=3n+5，且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a₁=λ＜0，b_n=λⁿ（n∈N^*），求λ的取值范围，使得{a_n}有最大值M与最小值m，且$\frac{M}{m}$∈（-2，2）．

Answer 1

分析 （1）把b_n=3n+5代入a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），可得数列{a_n}是等差数列，并求得公差，再由等差数列的通项公式得答案；
（2）由a₁=λ＜0，b_n=λⁿ，可得${a}_{n}=2{λ}^{n}-λ$，然后分-1＜λ＜0，λ=-1，λ＜-1三种情况求得a_n的最大值M和最小值m，再列式求得λ的范围．

解答 解：（1）∵a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），b_n=3n+5，
∴a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）=2（3n+8-3n-5）=6，
∴{a_n}是等差数列，首项为a₁=1，公差为6，
则a_n=1+6（n-1）=6n-5；
（2）∵b_n=λⁿ，∴a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）=2（λⁿ⁺¹-λⁿ），
当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（λⁿ-λ^n-1）+2（λ^n-1-λ^n-2）+…+2（λ²-λ）+λ=2λⁿ-λ．
当n=1时，a₁=λ适合上式，
∴${a}_{n}=2{λ}^{n}-λ$．
∵λ＜0，∴${a}_{2n}=2{λ}^{2n}-λ＞-λ$，${a}_{2n-1}=2{λ}^{2n-1}-λ＜-λ$．
①当λ＜-1时，由指数函数的单调性知数列{a_n}不存在最大值和最小值；
②当λ=-1时，数列{a_n}的最大值为3，最小值为-1，而$\frac{3}{-1}=-3$∉（-2，2）；
③当-1＜λ＜0时，由指数函数的单调性知，数列{a_n}的最大值M=a₂=2λ²-λ，
最小值m=a₁=λ．
由$\left\{\begin{array}{l}{-1＜λ＜0}\\{-2＜\frac{2{λ}^{2}-λ}{λ}＜2}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{2}＜λ＜0$．
综上所述，λ∈（-$\frac{1}{2}$，0）时满足条件．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．