Question

5．已知函数f（x）=$\frac{ax}{e^x}$+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x₁，x₂，求实数k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若x₀=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，求证：f'（x₀）＜0．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数f（x）=$\frac{ax}{e^x}$+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；
（2）确定函数f（x）的最大值为f（1）=$\frac{1}{e}$，x→+∞，f（x）→0，x→-∞，x＜0，利用关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x₁，x₂，即可求实数k的取值范围；
（3）不妨设0＜x₁＜1＜x₂，先证明f（1+t）＞f（1-t），对t∈（0，1）恒成立，再利用x＞1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，即可证明结论．

解答 （1）解：由题意，f′（x）=$\frac{a-ax}{{e}^{x}}$，
∵函数f（x）=$\frac{ax}{e^x}$+b的图象在点P（0，f（0））处的切线为y=x，
∴f（0）=b=0，f′（0）=a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$；
（2）解：由（1）f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，x＜1，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x＞1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴函数f（x）的最大值为f（1）=$\frac{1}{e}$，
∵x→+∞，f（x）→0，x→-∞，x＜0，关于x的方程f（x）=k有两个不等实根x₁，x₂，
∴0＜k＜$\frac{1}{e}$；
（3）证明：不妨设0＜x₁＜1＜x₂，先证明f（1+t）＞f（1-t），对t∈（0，1）恒成立，
只要证明（1+t）e^-（1+t）＞（1-t）e^-（1-t），
只要证明ln（1+t）-ln（1-t）-2t＞0．
令g（t）=ln（1+t）-ln（1-t）-2t，t∈（0，1）
则g′（t）=$\frac{2{t}^{2}}{1-{t}^{2}}$＞0，
∴g（t）在（0，1）上单调递增，
∴g（t）＞g（0）=0．
∵0＜x₁＜1＜x₂，
∴2-x₁＞1，
∴f（x₂）=f（x₁）＜f（2-x₁），
∵x＞1，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴x₂＞2-x₁，
∴x₁+x₂＞2，
∴x₀=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$＞1，∴f'（x₀）＜0．

点评 本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．