Question

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立，在R上单调递减．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若对一切x∈[

π

4

，

π

2

]，关于x的不等式f[2sin2(

π

4

+x)]-f(

3

cos2x)-f(m)＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

.证明：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立
令x=y=0可得，f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
∴f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数；（4分）
（2）∵函数f（x）是奇函数
由f[2sin2(

π

4

+x)]-f(

3

cos2x)-f(m)＜0
得f[2sin2(

π

4

+x)]＜f(

3

cos2x)+f(m)
即f[2sin2(

π

4

+x)]＜f(

3

cos2x+m)（6分）
又∵f（x）是R上的减函数 2sin2(

π

4

+x)＞

3

cos2x+m（8分）
即2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x＞m对一切x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立
2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+1（10分）

当x∈[

π

4

，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，sin(2x-

π

3

)∈[

1

2

，1]（12分）
2sin(2x-

π

3

)+1的最小值为2，
∴m＜2（14分）