题目内容

已知函数 $数学公式$ （x∈R）．
（1）已知点 $数学公式$ 在f（x）的图象上，判断其关于点 $数学公式$ 对称的点是否仍在f（x）的图象上；
（2）求证：函数f（x）的图象关于点 $数学公式$ 对称；
（3）若数列{a_n}的通项公式为 $数学公式$ （m∈{N}^{*}，n=1，2，…，m），求数列{a_n}的前m项和S_m．

解：（1）显然 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$
的对称点为 $\text{[math]}$ ，满足函数解析式，
所以 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点仍在该函数的图象上．（3分）
（2）设点P₀（x₀，y₀）是函数f（x）的图象上任意一点，
其关于点 $\text{[math]}$ 的对称点为P（x，y）．
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
所以，点P的坐标为P $\text{[math]}$ ．（6分）
由点P₀（x₀，y₀）在函数f（x）的图象上，
得 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴点P $\text{[math]}$ 在函数f（x）的图象上．
∴函数f（x）的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称．（9分）
（3）由（2）可知， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，（12分）
由S_m=a₁+a₂+a₃++a_m-1+a_m，①
得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3++a₁+a_m，②
由①+②，得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．（16分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，满足函数解析式，所以 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点仍在该函数的图象上．
（2）设点P₀（x₀，y₀）是函数f（x）的图象上任意一点，其关于点 $\text{[math]}$ 的对称点为P（x，y）．由 $\text{[math]}$ 得点P的坐标为P $\text{[math]}$ ．由点P₀（x₀，y₀）在函数f（x）的图象上，得 $\text{[math]}$ ．由此能够推导出函数f（x）的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称．
（3）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由S_m=a₁+a₂+a₃++a_m-1+a_m，得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3++a₁+a_m，由此能求出数列{a_n}的前m项和S_m．
点评：本题考查数列的综合应用，解题时要注意公式的合理运用．