题目内容

如图，△ABC是边长为 $数学公式$ 的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则 $数学公式$ 的取值范围是________．

[1，13]
分析：根据△ABC是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，算出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =6，分别将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分解为以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为基向量的式子，将数量积 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 展开，化简整理得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =7+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），最后研究 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的大小与方向，可得 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）的最大、最小值，最终得到 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的取值范围．
解答：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∠ACB=60°
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ cos60°=6
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ²∵ $\text{[math]}$ =1
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =6+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+1=7+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
∵△ABC是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，
∴向量 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是与AB垂直且方向向上，长度为6的一个向量
由此可得，点P在圆C上运动，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 共线同向时， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）取最大值，且这个最大值为6
当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 共线反向时， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）取最小值，且这个最小值为-6
故 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的最大值为7+6=13，最小值为7-6=1．即 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的取值范围是[1，13]
故答案为：[1，13]
点评：本题在等边三角形和单位圆中，求向量数量积的取值范围，着重考查了平面向量的加减法则和平面向量数量积的运算性质，属于中档题．