Question

【题目】【2017重庆市八中5月模考】已知（）,,其中为自然对数的底数.

（1）若恒成立,求实数的取值范围；

（2）若在（1）的条件下,当取最大值时,求证： .

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）解：法一：分类讨论．因为,

①当时, 所以,

故在上单调递增,

所以,所以

②当时,令,

若, ；若, ,

所以在上单减,在上单增；

所以,

解得,此时无解,

综上可得．

法二：分离参数． 恒成立在上恒成立．

令,则

所以在上单增,

故,所以

（2）证明：由题意可知, ．

要证 （*）

先证明： 时, ．

令．

当时, ,所以在上单减,

所以,所以．

所以要证明（*）式成立,只需要证明（**） ……（8分）

令,则,

,令

又在上单调递增,则在上, ,

在, ．

所以, 在上单减,在上单增,

所以,

所以在上单调递增,所以．

所以（**）成立,也即是（＊）式成立．故