Question

已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为k， 为坐标原点.

（Ⅰ）若抛物线的焦点在直线的下方，求k的取值范围；

（Ⅱ）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为，求的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）直线过点，且斜率为k，所以直线方程可设为，若焦点在直线的下方，则满足不等式，代入求的范围；（Ⅱ）设直线的方程为，，分别与抛物线联立，因为直线和抛物线的一个交点坐标已知，故可利用韦达定理求出切点的坐标，再求出切线和的方程，进而联立求交点的坐标，再求的最小值即可.

试题解析：（Ⅰ）解：抛物线的焦点为. 由题意，得直线的方程为，

令 ，得，即直线与y轴相交于点. 因为抛物线的焦点在直线的下方，

所以 ，解得 .

（Ⅱ）解：由题意，设，，，

联立方程 消去，得， 由韦达定理，得，所以 .

同理，得的方程为，. 对函数求导，得，

所以抛物线在点处的切线斜率为，所以切线的方程为， 即. 同理，抛物线在点处的切线的方程为.联立两条切线的方程解得，，所以点的坐标为. 因此点在定直线上. 因为点到直线的距离，所以，当且仅当点时等号成立． 由，得，验证知符合题意.所以当时，有最小值.

考点：1、直线的方程；2、直线和抛物线的位置关系；3、导数的几何意义.