Question

【题目】已知函数f（x）= ，a∈R．
（1）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若a=0，x1＜x＜x2＜2，证明： ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，∴f′（x）=

，x∈（ ，1）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为（ ，1）；

②a＜0， ＞1，x∈（﹣∞，1）∪（ ，+∞）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为∈（﹣∞，1）和（ ，+∞）

（2）解：a=0，f（x）= ，x1＜x＜x2＜2，

证明： ＞ ，只要证明g（x）= 在（x1，2）上单调递减．

g′（x）= ，设h（x）= ，

∴h′（x）= ＜0，

∴h（x）在（x1，2）上是减函数，

∴h（x）＜0，∴g′（x）＜0，

∴g（x）= 在（x1，2）上单调递减．

∵x1＜x＜x2＜2，

∴ ＞

【解析】（1）若a≠0，求导数，分类讨论，即可求函数f（x）的单调递增区间；（2）a=0，f（x）= ，x1＜x＜x2＜2，证明： ＞ ，只要证明g（x）= 在（x1 ， 2）上单调递减．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．