Question

（本小题共13分）
已知集合对于，，定义A与B的差为

A与B之间的距离为
（Ⅰ）证明：，且;
（Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数
(Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).
证明：（P）≤.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

Answer 1

（I）见解析（II）见解析(III)见解析

证明：（I）设，，
因为，，所以, 
从而
又
由题意知，，.
当时，;
当时，
所以
(II)设，，
，，.
记，由（I）可知



所以中1的个数为，的1的
个数为。
设是使成立的的个数，则
由此可知，三个数不可能都是奇数，
即,,三个数中至少有一个是偶数。
（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，
设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0
则=
由于
所以
从而