Question

2．已知点A、B是函数f（x）=x²图象上位于对称轴两侧的两动点，定点F（0，$\frac{1}{4}$），若向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$满足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2（O为坐标原点）．则三角形ABO与三角形AFO面积之和的取值范围是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． [3，+∞）
• C． [$\frac{17\sqrt{2}}{8}$，+∞）
• D． [0，3]

Answer 1

分析 通过设点A（-x，x²）（x＞0）、利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2、计算可知B（$\frac{2}{x}$，$\frac{4}{{x}^{2}}$），过点A、B分别作x轴垂线且垂足分别为C、D，通过S_△ABO+S_△AFO=S_梯形ACDB-S_△ACO-S_△BDO+S_△AFO、利用面积计算公式及基本不等式计算即得结论．

解答 解：依题意，不妨设点A（-x，x²）（x＞0）、B（p，p²）（p＞0），
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2，即-xp+（xp）²=2，
∴（xp）²-xp-2=0，
解得：xp=2或xp=-1（舍），
∴p=$\frac{2}{x}$，即B（$\frac{2}{x}$，$\frac{4}{{x}^{2}}$），
过点A、B分别作x轴垂线，垂足分别为C、D，
则S_△ABO+S_△AFO=S_梯形ACDB-S_△ACO-S_△BDO+S_△AFO
=$\frac{1}{2}$（AC+BD）•CD-$\frac{1}{2}$AC•CO-$\frac{1}{2}$BD•OD+$\frac{1}{2}$OF•CO
=$\frac{1}{2}$（x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$）•（x+$\frac{2}{x}$）-$\frac{1}{2}$x²•x-$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{{x}^{2}}$•$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{4}$•x
=$\frac{1}{2}$（x³+$\frac{4}{x}$+2x+$\frac{8}{{x}^{3}}$-x³-$\frac{8}{{x}^{3}}$+$\frac{x}{4}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{x}$+2x+$\frac{x}{4}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{x}$+$\frac{9x}{4}$）
≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{\frac{4}{x}•\frac{9x}{4}}$（当且仅当$\frac{4}{x}$=$\frac{9x}{4}$即x=$\frac{4}{3}$时等号成立）
=3，
故选：B．

点评 本题考查平面向量数量积运算，涉及面积的计算方法、基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．