Question

如图，已知几何体的三视图（单位：cm）．
（1）在这个几何体的直观图相应的位置标出字母A，B，C，D，A₁，B₁，C₁，D₁，P，Q；
（2）求这个几何体的表面积及体积；
（3）设异面直线A₁Q、PD所成角为θ，求cosθ．

Answer 1

考点：由三视图求面积、体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据三视图的画出，进行复原画出几何体的图形即可．
（2）几何体可看成是正方体AC₁及直三棱柱B₁C₁Q-A₁D₁P的组合体，求出底面面积，然后求出体积即可．
（3）由PQ∥CD，且PQ=CD，可得：PD∥QC，故∠A₁QC即为异面直线A₁Q、PD所成角（或其补角），利用余弦定理和勾股定理解三角形可得答案．

解答： 解：（1）这个几何体的直观图如图所示．

（2）这个几何体可看成是正方体AC₁及直三棱柱B₁C₁Q-A₁D₁P的组合体．
由PA₁=PD₁=

2

，A₁D₁=AD=2，
可得PA₁⊥PD₁．
故所求几何体的表面积
S=5×2²+2×

1

2

2×1+2×

2

×2

2

=22+4

2

（cm²），
所求几何体的体积V=2³+

1

2

×（

2

）²×2=10（cm³）．
（3）由PQ∥CD，且PQ=CD，可得：PD∥QC，
故∠A₁QC即为异面直线A₁Q、PD所成角（或其补角），

由题意知：A1Q2=A1B12+B1Q2=6，A₁C=

3

×2=2

3

．
取BC的中点E，则QE⊥BC，且QE=3，QC²=QE²+EC²=10，
由余弦定理得：cosθ=|cos∠A₁QC|=|

A1Q2+QC2-A1C2

2A1Q•QC

|=

6+10-12

2 6 • 10

=

15

15

，
所以异面直线A₁Q、PD所成角为θ满足cosθ=

15

15

．

点评：本题考查三视图复原几何体，空间直线的夹角，画出中逐步按照三视图的作法复原，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，转化思想，是中档题．