Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0），
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-a_n（n∈N*），证明{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a₃是a₆与a₉的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，a_n是a_n+3与a_n+6的等差中项。

Answer 1

（Ⅰ）证明：由题设（n≥2），
得，即，n≥2，
又，q≠0，
所以{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），
，
……
，（n≥2），
将以上各式相加，得（n≥2），
所以当n≥2时，，
上式对n=1显然成立；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当q=1时，显然a₃不是a₆与a₉的等差中项，故q≠1，
由可得，
由q≠0得，　①
整理得，解得（舍去），
于是，
另一方面，，
，
由①可得，n∈N*，
所以对任意的n∈N*，a_n是a_n+3与a_n+6的等差中项。