Question

设函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定义域和值域均为[m，n]，则a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定义域和值域均为[m，n]，问题转化为y=f（x）的图象与y=x的图象有两个不同的公共点，构造函数利用导数，求最大值，然后求解即可得出符合题意的a的取值范围．
解答：解：f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定义域和值域均为[m，n]，
那么y=f（x）与y=x的图象有两个交点
即方程f（x）-x=0有两个不相等的实数根．
设g（x）=f（x）-x=a^x-x
则g'（x）=a^xlna-1
令g'（x）=0 得 a^x=＞0，说明a＞1
所以x=
所以当x=-log_a（lna）时，g（x）取得最小值
由＜0 得
1＜a＜
故答案为：（1，）．
点评：本题考查了函数的定义域、函数的值域、闭区间上函数的最值问题，属于难题．利用构造，研究一个新的函数零点的问题，此法是高中数学解题的一大难点．