题目内容
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4).(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.
解 （Ⅰ）设椭圆的方程为
(a＞b＞0).
由条件知c=2,且
=λ,所以a2=λ,
b2=a2-c2=λ-4.故椭圆的方程是
(Ⅱ)依题意，直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是y=k(x-1).设点F(2,0)关于直线l的对称点为F‘(x0,y0),则
解得
因为点F′(x0,y0)在椭圆上，所以
即
λ(λ-4)k4+2λ(λ-6)k2+(λ-4)2=0.
设k2=t,则λ(λ-4)t2+2λ(λ-6)t+(λ-4)2=0.
因为λ＞4,所以
＞0.
于是，当且仅当
(*)
上述方程存在实根，即直线l存在.
解(*)得
所以4＜λ≤
.
即λ的取值范围是4＜λ≤
.
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