Question

在平面直角坐标系中，角α，β的终边分别与以原点为圆心的单位圆交于A、B两点，且．
（Ⅰ）求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）若，且，求sinα的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据题意设出，，利用向量法则根据-表示出，利用向量模的定义列出关系式，整理后利用两角和与差的余弦函数公式即可求出cos（α-β）的值；
（Ⅱ）由α与β的范围求出α-β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）与cosβ的值，所求式子变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：解：（Ⅰ）根据题意设=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），
∴=-=（cosβ-cosα，sinβ-sinα），
∴||²=（cosβ-cosα）²+（sinβ-sinα）²=，即2-2（cosβcosα+sinβsinα）=，
∴cos（α-β）=cosβcosα+sinβsinα=；
（Ⅱ）∵0＜α＜，-＜β＜0，
∴0＜α-β＜π，
∴sin（α-β）==，
∵sinβ=-，
∴cosβ==，
则sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=×-×=．
点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．