Question

（2011•天津模拟）设数列{a_n} 满足a₁=a，an+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a、c为实数，且c≠0．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）设a=

1

2

，c=

1

2

，b_n=n（a-a_n）（n∈N^*），求数列 {b_n}的前n项和S_n．
（3）设a=

3

4

，c=-

1

4

，cn=

3+an

2-an

（n∈N^*），记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，设数列{d_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有T_n＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）把给出的递推式移向后讨论a，当a₁=a≠1时，{a_n-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列，求出通项公式后验证a=1时成立；
（2）把数列{a_n} 的通项公式代入b_n=n（a-a_n），然后利用错位相减法求数列 {b_n}的前n项和S_n；
（3）把数列{a_n} 的通项公式代入cn=

3+an

2-an

化简，然后由dn=c2n-c2n-1(n∈N*)放缩得到dn＜

25

16n

，最后通过求和证明T_n＜

3

2

．

解答：（1）解：∵a_n+1=ca_n+1-c，∴a_n+1-1=c（a_n-1）
∴当a₁=a≠1时，{a_n-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列，
∴an-1=(a-1)cn-1，即an=(a-1)cn-1+1．
当a=1时，a_n=1仍满足上式．
∴数列{a_n} 的通项公式为an=(a-1)cn-1+1；
（2）解：由（1）得，当a=

1

2

，c=

1

2

时，
b_n=n（1-a_n）=n{1-[1-

1

2n

]}=n•

1

2n

 
∴Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n×

1

2n

1

2

Sn=

1

22

+2×

1

23

+…+n×

1

2n+1

两式作差得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-n×

1

2n+1

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-n×

1

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-n×

1

2n

=2(1-

1

2n

)-

n

2n

=2-

n+2

2n

；  
（3）证明：cn=

3+an

2-an

=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

=4+

5

(-4)n-1

d_n=c_2n-c_2n-1=

5

42n-1

+

5

42n-1+1

=

25×16n

(16n-1)(16n+4)

=

25×16n

(16n)2+3×16n-4

＜

25×16n

(16n)2

=

25

16n

又c1=3，c2=

13

3

，∴d2=

4

3

，
当n=1时，T1＜

3

2

，
当n≥2时，
Tn＜

4

3

+25×(

1

162

+

1

163

+…+

1

16n

)=

4

3

+25×

1 162 [1- 1 16n-2 ]

1- 1 16

＜

4

3

+25×

1 162

1- 1 16

=

69

48

＜

3

2

．

点评：本题考查了数列的递推式，考查了数列与不等式的综合，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了错位相减法求数列的前n项和，训练了放缩法求证不等式，是难题．