Question

已知a=1，a=

5

3

，a_n+2=

5

3

an+1-

2

3

an，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：由已知得a_n+2-a_n+1=

2

3

（a_n+1-a_n），构造出等比数列{a_n+1-a_n}，通过数列{a_n+1-a_n}的通项公式利用累加法求解即可．

解答：解：由已知a_n+2=

5

3

an+1-

2

3

an，得a_n+2-a_n+1=

2

3

（a_n+1-a_n），
所以数列{a_n+1-a_n}是以

2

3

为公比的等比数列，且首项为a₂-a₁=

5

3

-1=

2

3

，
数列{a_n+1-a_n}的通项公式为a_n+1-a_n=

2

3

•

2

3

n-1=(

2

3

)n
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…（a_n-a_n-1）=1+

2

3

+(

2

3

)2…+(

2

3

)n-1=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

=3[1-(

2

3

)n]，
又n=1时a₁=1，也符合上式，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=3[1-(

2

3

)n]

点评：本题考查数列的递推公式与通项公式，考查变形、构造转化，计算的方法与能力．