题目内容

已知
a
、
b
是不共线的向量，且
a
=（5cosα，5sinα），
b
=（5cosβ，5sinβ）
（1）求证：
a
+
b
与
a
-
b
垂直．
（2）若|
a
+
b
|=5
3
，求cos（α-β）
分析：（1）根据两向量的坐标表示分别求出两向量的模，要证明（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
），只需得到两向量的数量积为0，故求出两向量的数量积，化简后将两向量的模代入即可得到值为0，得证；
（2）把已知的等于两边平方，把两向量的模代入即可求出
a
•
b
的值，然后利用平面向量的数量积运算法则表示出
a
•
b
，令其值等于求出的值，即可求出cos（α-β）的值．
解答：解：（1）∵
a
=（5cosα，5sinα），
b
=（5cosβ，5sinβ）
∴|
a
|=|
b
|=5，
又∵（
a
+
b
）•（
a
-
b
）=
a
2-
b
2=|
a
|2-|
b
|2=0，
∴（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）；                   
（2）|
a
+
b
|2=（
a
+
b
）2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=50+2
a
•
b
=75，
∴
a
•
b
=
25
2

又∵
a
•
b
=25cosαcosβ+sinαsinβ=25cos（α-β）=
25
2

∴cos（α-β）=
1
2
．（10分）
点评：此题考查了平面向量的数量积运算，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握平面向量的数量积运算法则及三角函数公式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
、
b
是不共线的向量，
AB
=λ
a
+
b
，
AC
=
a
+μ
b
（λ，μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（　　）
A、λ+μ=1B、λ-μ=1
C、λμ=-1D、λμ=1
已知
a
，
b
是不共线的向量，若
AB
=λ1
a
+
b
，
AC
=
a
+λ2
b
(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为（　　）
A、λ1=λ2=-1
B、λ1=λ2=1
C、λ1λ2-1=0
D、λ1•λ2+1=1
已知a、b是不共线的向量，
AB
=λa+b，
AC
=a+μb（λ，μ∈R），则A、B、C三点共线的充要条件是
 
．
已知
a
，
b
是不共线的向量，且
AB
=λ1
a
+
b
，
AC
=
a
+λ2
b
，（λ1，λ2∈R），若A、B、C三点共线，则λ1，λ2满足（　　）

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