Question

在三角形△ABC中，BC=1，sin(A-

π

4

)=

2

10

．
（Ⅰ）求sinA的值；  
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知的第二个等式左边利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，得到sinA-cosA=

1

5

①，然后左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，求出sin2A的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简（sinA+cosA）²，将sin2A的值代入，开方求出sinA+cosA=

7

5

②，联立①②即可求出sinA的值；
（Ⅱ）由sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，再利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，将a，cosA的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可得出三角形面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由sin(A-

π

4

)=sinAcos

π

4

-cosAsin

π

4

=

2

10

，
即

2

2

（sinA-cosA）=

2

10

，
∴sinA-cosA=

1

5

，
∴(sinA-cosA)2=1-sin2A=

1

25

，
∴sin2A=

24

25

，且角A为锐角，
又(sinA+cosA)2=1+sin2A=1+

24

25

=

49

25

，
sinA+cosA=

7

5

，sinA+cosA=-

7

5

（舍去），
联立得：

sinA-cosA= 1 5 sinA+cosA= 7 5

，
解得：sinA=

4

5

；
（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，
∵sinA=

4

5

，cosA=

3

5

，
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

bc×

4

5

=

2

5

bc，
由余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bc×

3

5

，
∴1≥2bc-

6

5

bc=

4

5

bc，即bc≤

5

4

，
∴S=

2

5

bc≤

2

5

×

5

4

=

1

2

，
则△ABC面积的最大值为

1

2

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式，余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．