题目内容
在三角形ABC中，已知2| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
（1）求角α的值；
（2）若cos(β-α)=
4
| ||
| 7 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
分析：（1）根据向量之间的关系，把向量的数量积用公式表示出来，两边比较，得到角的余弦值，根据角的范围，确定角的值．
（2）根据角α和角β-α的函数值和角的范围，把要求的角变化为两个已知角的关系，解题过程中需要的角的三角函数值，结合角的范围求出，本题的关键是角的变换．
（2）根据角α和角β-α的函数值和角的范围，把要求的角变化为两个已知角的关系，解题过程中需要的角的三角函数值，结合角的范围求出，本题的关键是角的变换．
解答：解：（1）∵2
•
=|
|•|
|，
∴2|
|•|
|cosα=|
|•|
|
∴cosα=
，
∵0＜α＜π为三角形ABC的内角，
∴α=
，
（2）由（1）知：sinα=
，且β-α∈(0，
)，
∴sin(β-α)=
，
故cosβ=cos（β-α+α）=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα
=
×
-
×
=
．
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
∴2|
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
∴cosα=
| 1 |
| 2 |
∵0＜α＜π为三角形ABC的内角，
∴α=
| π |
| 3 |
（2）由（1）知：sinα=
| ||
| 2 |
| π |
| 2 |
∴sin(β-α)=
| 1 |
| 7 |
故cosβ=cos（β-α+α）=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα
=
4
| ||
| 7 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 7 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 14 |
点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到角的变换问题．注意解题过程中角的范围．
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