Question

已知△ABC的两条高线所在直线的方程为2x-3y+1=0和x+y=0，顶点A（1，2），求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）判断点A不在两条高线，由高线求出AB、AC边所在直线的斜率再把点A的坐标代入点斜式方程，化简求出AB、AC边所在直线的方程，联立高线方程求出B、C的坐标，最后求出所求的直线方程．
（2）由（1）的结果求BC的长和BC边上的高，代入三角形的面积公式求解．

解答：解：（1）∵A（1，2）点不在两条高线2x-3y+1=0和x+y=0上，
∴AB、AC边所在直线的斜率分别为-

3

2

和1，
代入点斜式得：y-2=-

3

2

（x-1），y-2=x-1
∴AB、AC边所在直线方程为3x+2y-7=0，x-y+1=0．
由

2x-3y+1=0 x-y+1=0

解得x=-2，y=-1，∴C（-2，-1）、
同理可求 B（7，-7）．
∴边BC所在直线的斜率k=

-1+7

-2-7

=-

2

3

，方程是y+1=-

2

3

（x+2）
化简得2x+3y+7=0，∴边BC所在直线的方程为 2x+3y+7=0．
（2）由（1）得，|BC|=

(7+2)2+(-7+1)2

=

117

，
点A到边BC的高为h=

2+6+7

4+9

=

15

13

，
∴△ABC的面积S=

1

2

×|BC|×h=

1

2

×3

13

×

15

13

=

45

2

．

点评：本题考查了求直线方程和联立直线方程求交点坐标，以及两点之间的距离公式和点到直线的距离公式，也考查了学生的计算能力．