Question

如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是，是的中点．

（1）求证：∥平面；
（2）求二面角的大小；
（3）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）详见解析，（2），（3）.

试题分析：（1）线面平行判定定理，关键找线线平行.利用三角形中位线性质找平行，取的中点，则是三角形的中位线，即∥．应用定理证明时，需写出定理所需条件.（2）利用空间向量求二面角的大小，关键求出平面的法向量.平面的一个法向量为,而平面的法向量则需列方程组解出.根据向量的数量积求出两向量夹角，再根据向量夹角与二面角的大小关系，求出结果.一般根据图像判定所求二面角是锐角还是钝角.（3）存在性问题，从假定存在出发，利用面面垂直列等量关系.在（2）中已求出平面的法向量，因此只需用点坐标表示平面的法向量即可.解题结果需注意点在线段上这一限制条件.
试题解析：

（1）证明：连结交于，连结，
因为三棱柱是正三棱柱，
所以四边形是矩形，
所以为的中点．
因为是的中点，
所以是三角形的中位线，             2分
所以∥．                           3分
因为平面，平面，
所以∥平面．                      4分

（2）解：作于，所以平面，
所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系．
因为，，是的中点．
所以，，，， 5分
所以，，
．
设是平面的法向量，
所以即
令，则，，
所以是平面的一个法向量．             6分
由题意可知是平面的一个法向量，      7分
所以．                            8分
所以二面角的大小为．                         9分
（3）设，则，
设平面的法向量，
所以即
令，则，，
，                                12分
又，即，解得，
所以存在点，使得平面平面且．   14分