Question

9．如图，平面AEFD⊥平面BCFE，其中AEFD为正方形，BCFE为直角梯形，BE∥CF，BE⊥EF，BE=EF=$\frac{1}{2}$CF=1．
（1）求证：AB∥平面CDF；
（2）求点F到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明平面ABE∥平面CDF，即可证明AB∥平面CDF；
（2）利用等体积法求点F到平面ABC的距离．

解答 （1）证明：∵AE∥DF，AE?平面CDF，DF?平面CDF，
∴AE∥平面CDF，
同理BE∥平面CDF，
∵AE∩BE=E，
∴平面ABE∥平面CDF，
∵AB?平面ABE，
∴AB∥平面CDF；
（2）解：设点F到平面ABC的距离为h
△ABC中，AB=BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{6}$，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}•\sqrt{6}•\sqrt{2-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由等体积可得$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}h′=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•1•1$，
∴h′=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面、面面平行的判定，考查体积的计算，正确证明线面平行是关键．