Question

【题目】已知函数的极小值为.

（1）求的单调区间；

（2）证明：（其中为自然对数的底数）.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）详见解析

【解析】

（1）先由函数的极小值为，求出，利用导数的应用，求函数单调区间即可；

（2）不等式恒成立问题，通常采用最值法，方法一,令，可以证明，方法二,要证，即证，再构造函数证明即可得解.

（1）由题得的定义域为，

，

令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）方法一：要证，即证，

令，则，

当时，单调递增；

当时，，单调递减.

所以.

由题知.

因为，

所以，即.

方法二：由（1）知.

解得，要证，即证.

当时，易知.

令，则.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以，即.

令，则，

所以在区间内单调递增，

所以，即，

所以，

则当时，

，

所以.

综上，.