Question

（2009•南汇区二模）已知函数f(x)=

.

1 sinx 3 cosx 0 sinx sinx 2m 0 0

.

的定义域为[0，

π

2

]，最大值为4．试求函数g（x）=msinx+2cosx（x∈R）的最小正周期和最值．

Answer 1

分析：三阶行列式的展开法则：

.

a b c m n p x y z

.

=anz+bpx+cmy-cnx-bmz-apy，由此可将已知函数表达式化简为：f(x)=2msin2x-2

3

msinx•cosx，再用降幂公式化简合并成-2msin(2x+

π

6

)+m．通过讨论函数的最大值点，得出m=2，代入函数g（x），最后将函数g（x）化简合并成Asin（ωx+φ）+k的形式，即可求出函数g（x）的最小正周期和最值．

解答：解：f(x)=2msin2x-2

3

msinx•cosx
=-2msin(2x+

π

6

)+m
由x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]⇒sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]…4’
当m＞0时，f（x）_max=-2m(-

1

2

)+m=4，
解得m=2，…6’
从而，g(x)=2sinx+2cosx=2

2

sin(x+

π

4

)（x∈R），
T=2π，最大值为2

2

，最小值为-2

2

；…8’
当m＜0时，f（x）_max=-2m•1+m=4，
解得m=-4，…10’
从而，g(x)=-4sinx+2cosx=2

5

sin(x-arctan

1

2

)，
函数的最小正周期为：T=2π，
最大值为2

5

，最小值为-2

5

．…12’

点评：本题考查了三阶行列式的展开和三角函数的值域与最值等知识点，属于中档题．处理三角函数表达式是本题的主要工作，做题时要注意角的取值范围，以保证运算准确无误．