Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=，AC=2，AA₁=1．点D在棱B₁C₁上，且B₁D：DC₁=1：3．

(1)证明：无论为任何正数，均有BD⊥A₁C；

(2)当为何值时，二面角B―A₁D―B₁为60°?

Answer 1

解法一：(1)作DE//A₁B，交A₁C₁于E，则DE⊥A₁C₁

∴ABC―A₁B₁C₁为直三棱柱，

∴平面A₁B₁C₁⊥平面A₁C，∴DE⊥平面A₁C

(2)作B₁F⊥A₁D于F，连BF，则BF⊥A₁D

∠BFB₁为二面角B―A₁D―B₁的平面角，

∴∠BFB₁= 60°,B₁F=．

A₁D=．

又=．

∴?A₁D?B₁F=??=

∴

当时，二面角B―A₁D―B₁=60°．

解法二：(1)以A为坐标原点，分别以AB、AC、AA₁所在直线为轴、轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(，，1)，=(一，，1)，=(0，2，一1)．

∵?=(一，，1)?(0，2，一1)=0，

∴⊥，即BD⊥A₁C．

(2)=(，，0)， =(，0，－1)．

设=()为平面A₁BD的一个法向量，则⊥，⊥．

∴ ()?(，，0)=0，()?(，0，－1)=0

即，

∴

故n=(，一，1)．

又=(0，0，1)是平面A₁B₁C₁的一个法向量，

===cos60°=,∴

当时，二面角B―A₁D―B₁为60°．