Question

已知直线l₁：4x-3y+11=0和直线l₂：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是

3

．

Answer 1

分析：如图所示，过点P分别作PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．利用点到直线的距离公式即可得出．

解答：解：如图所示，
过点P分别作PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分别为M，N．
设抛物线的焦点为F（1，0），由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．
其最小值为点F到直线l₁的距离，∴|FM|=

|4-0+11|

42+32

=3．
故答案为：3．

点评：本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的公式，属于难题．