Question

已知直线l₁：4x-3y+8=0和直线l₂：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（　　）

• A、

  12

  5

• B、3
• C、2
• D、

  37

  16

Answer 1

分析：设出抛物线上一点P的坐标为（a²，2a），利用点到直线的距离公式，求出P到直线l₁距离d₁=

1

5

（4a²-6a+8），P到直线l₂距离d₂=a²+1，得到d₁+d₂关于a的二次函数表达式，利用二次函数的性质即可算出d₁+d₂的最小值．

解答：解：设抛物线上的一点P的坐标为（a²，2a），
则P到直线l₁：4x-3y+8=0的距离d₁=

|4a2-6a+8|

5

，
∵4a²-6a+8=4（a-

3

4

）²+

23

4

＞0，
∴d₁=

|4a2-6a+8|

5

=

1

5

（4a²-6a+8）
∵P到直线l₂：x=-1的距离d₂=a²+1；
∴距离之和为d₁+d₂=

1

5

（4a²-6a+8）+a²+1=

9

5

a²-

6

5

a+

13

5

=

1

5

（3a-1）²+

12

5

，
当3a=1时即a=

1

3

时，P到直线l₁和直线l₂的距离之和达到最小值，这个最小值为

12

5

．
故选：A

点评：本题给出抛物线y²=4x上一个动点P，求点P到两条定直线距离之和的最小值．着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的简单几何性质和二次函数的性质等知识，属于中档题．